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Aufbauend auf einem interdisziplinären Modell, das sowohl kognitionspsychologische als auch mathematikdidaktische Fähigkeiten beim Schätzen von visuell erfassbaren Größen (Längen, Flächeninhalte, Fassungsvermögen, Rauminhalte) beinhaltet, und einem Modell zur Systematisierung verschiedener Aufgabenmerkmale wurde im Rahmen dieses Dissertationsprojekts ein schriftlicher Schätztest entwickelt. Der Schätztest beinhaltet insgesamt 48 Items, deren Merkmale zwischen den Größen parallelisiert und gleich verteilt sind (12 Items pro Größe) Die Daten des Tests werden genutzt, um verschiedene Arten der Ermittlung und Bewertung von Schätzgenauigkeit zu untersuchen, die Schätzgenauigkeit von Kindern der vierten, fünften und sechsten Klasse zu ermitteln und um den Zusammenhang der vier Größen zu beschreiben. Die Untersuchung verschiedener klassischer Fehlerberechnungs- und Bewertungsarten zeigt wesentliche Unterschiede in Testleistung und Testgüte. Die Berechnung des logarithmischen Fehlers in Verbindung mit einem logarithmischen Scoring wird als ein alternatives Verfahren genutzt. Die Analyse der Schätzergebnisse von 900 Kindern zeigt, dass sich die Schätzgenauigkeit von Kindern der vierten und sechsten sowie fünften und sechsten Klassen signifikant unterscheidet: Kinder aus höheren Jahrgängen schätzen genauer als Kinder aus niedrigeren Jahrgängen. Es konnte kein signifikanter Unterschied bei der Schätzgenauigkeit zwischen Kindern der vierten und fünften Klassen festgestellt werden. Darüber hinaus unterscheidet sich Schätzgenauigkeit signifikant zwischen den Größen: Längen werden am genauesten geschätzt, gefolgt von Fassungsvermögen, Flächeninhalten und Rauminhalten. Alle Größen korrelieren bezüglich der Schätzgenauigkeit moderat miteinander. Die Schätzgenauigkeit von Längen kann als Prädiktor für die Schätzgenauigkeit der anderen Größen herangezogen werden.
Mathematisches Problemlösen ist eine in den Bildungsstandards verankerte Kompetenz, die es bei Schülern explizit zu fördern gilt. Für eine erfolgreiche Bearbeitung von Problemlöseaufgaben ist laut Begriffsverständnis der Bildungsstandards des Faches Mathematik die Auswahl und zielführende Anwendung von Heurismen erforderlich, was für Schüler durchaus herausfordernd sein kann. Bereits seit Jahrzehnten beschäftigt sich daher die Forschung der deutschsprachigen Mathematikdidaktik mit der Schaffung geeigneter Lernmaterialien zur Förderung von Problemlösekompetenz und dennoch sind bislang nicht alle Unklarheiten ausreichend beantwortet. So ist beispielsweise nach wie vor weitestgehend unklar, wie eine Förderung der Kompetenz etwa durch geeignete Lernmaterialien unterstützt werden kann. Daraus ergibt sich nicht zuletzt der unmittelbare Forschungsansatz, wie geeignete Lernmaterialien geschaffen bzw. ausgestaltet sein sollten, um die Entwicklung von Problemlösekompetenz von Schülern zu fördern. Im Fokus stand dabei die Beantwortung folgender übergeordneter Forschungsfrage, welche sich in der Dissertationsschrift in weitere Teilfragen untergliedert: "Welche Veränderung des Bearbeitungserfolgs bei Problemlöseaufgaben zur Flächeninhaltsberechnung zeigen Schüler – hinsichtlich der Auswahl und Anwendung von Heurismen – durch die Bearbeitung eines papier- bzw. eines videobasierten Lösungsbeispiels?" Die Beantwortung der Forschungsfrage fand im Rahmen einer durchgeführten Studie in Form einer quasiexperimentellen Laborstudie mit insgesamt 38 Schülern statt. Untersucht wurde dabei, inwiefern medial unterschiedlich aufbereitete Lösungsbeispiele eine geeignete Lernunterstützung zur Entwicklung von Problemlösekompetenz darstellen. Dafür wurde in einer Treatmentgruppe eine Problemlöseaufgabe zur Flächeninhaltsberechnung mit Hilfe eines papierbasierten Lösungsbeispiels bearbeitet, während in einer zweiten Treatmentgruppe ein inhaltlich identisches Lösungsbeispiel videobasiert in Form eines Erklärvideos zur Verfügung stand.
The computational analysis and the optimization of transport and mixing processes in fluid flows are of ongoing scientific interest. Transfer operator methods are powerful tools for the study of these processes in dynamical systems. The focus in this context has been mostly on closed dynamical systems and the main applications have been geophysical flows. In this thesis, the authors consider transport and mixing in closed flow systems and in open flow systems that mimic technical mixing devices. Via transfer operator methods, They study the coherent behavior in closed example systems including a turbulent Rayleigh-Bénard convection flow and consider the finite-time mixing of two fluids. They extend the transfer operator framework to specific open flows. In particular, they study time-periodic open flow systems with constant inflow and outflow of fluid particles and consider several example systems. In this case, the transfer operator is represented by a transition matrix of a time-homogeneous absorbing Markov chain restricted to finite transient states. The chaotic saddle and its stable and unstable manifolds organize the transport processes in open systems. The authors extract these structures directly from leading eigenvectors of the transition matrix. For a constant source of two fluids in different colors, the mass distribution in the mixer and its outlet region converges to an invariant mixing pattern. In parameter studies, they quantify the degree of mixing of the resulting patterns by several mixing measures. More recently, network-based methods that construct graphs on trajectories of fluid particles have been developed to study coherent behavior in fluid flow. They use a method based on diffusion maps to extract organizing structures in open example systems directly from trajectories of fluid particles and extend this method to describe the mixing of two types of fluids.