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Mathematisches Problemlösen ist eine in den Bildungsstandards verankerte Kompetenz, die es bei Schülern explizit zu fördern gilt. Für eine erfolgreiche Bearbeitung von Problemlöseaufgaben ist laut Begriffsverständnis der Bildungsstandards des Faches Mathematik die Auswahl und zielführende Anwendung von Heurismen erforderlich, was für Schüler durchaus herausfordernd sein kann. Bereits seit Jahrzehnten beschäftigt sich daher die Forschung der deutschsprachigen Mathematikdidaktik mit der Schaffung geeigneter Lernmaterialien zur Förderung von Problemlösekompetenz und dennoch sind bislang nicht alle Unklarheiten ausreichend beantwortet. So ist beispielsweise nach wie vor weitestgehend unklar, wie eine Förderung der Kompetenz etwa durch geeignete Lernmaterialien unterstützt werden kann. Daraus ergibt sich nicht zuletzt der unmittelbare Forschungsansatz, wie geeignete Lernmaterialien geschaffen bzw. ausgestaltet sein sollten, um die Entwicklung von Problemlösekompetenz von Schülern zu fördern. Im Fokus stand dabei die Beantwortung folgender übergeordneter Forschungsfrage, welche sich in der Dissertationsschrift in weitere Teilfragen untergliedert: "Welche Veränderung des Bearbeitungserfolgs bei Problemlöseaufgaben zur Flächeninhaltsberechnung zeigen Schüler – hinsichtlich der Auswahl und Anwendung von Heurismen – durch die Bearbeitung eines papier- bzw. eines videobasierten Lösungsbeispiels?" Die Beantwortung der Forschungsfrage fand im Rahmen einer durchgeführten Studie in Form einer quasiexperimentellen Laborstudie mit insgesamt 38 Schülern statt. Untersucht wurde dabei, inwiefern medial unterschiedlich aufbereitete Lösungsbeispiele eine geeignete Lernunterstützung zur Entwicklung von Problemlösekompetenz darstellen. Dafür wurde in einer Treatmentgruppe eine Problemlöseaufgabe zur Flächeninhaltsberechnung mit Hilfe eines papierbasierten Lösungsbeispiels bearbeitet, während in einer zweiten Treatmentgruppe ein inhaltlich identisches Lösungsbeispiel videobasiert in Form eines Erklärvideos zur Verfügung stand.
The computational analysis and the optimization of transport and mixing processes in fluid flows are of ongoing scientific interest. Transfer operator methods are powerful tools for the study of these processes in dynamical systems. The focus in this context has been mostly on closed dynamical systems and the main applications have been geophysical flows. In this thesis, the authors consider transport and mixing in closed flow systems and in open flow systems that mimic technical mixing devices. Via transfer operator methods, They study the coherent behavior in closed example systems including a turbulent Rayleigh-Bénard convection flow and consider the finite-time mixing of two fluids. They extend the transfer operator framework to specific open flows. In particular, they study time-periodic open flow systems with constant inflow and outflow of fluid particles and consider several example systems. In this case, the transfer operator is represented by a transition matrix of a time-homogeneous absorbing Markov chain restricted to finite transient states. The chaotic saddle and its stable and unstable manifolds organize the transport processes in open systems. The authors extract these structures directly from leading eigenvectors of the transition matrix. For a constant source of two fluids in different colors, the mass distribution in the mixer and its outlet region converges to an invariant mixing pattern. In parameter studies, they quantify the degree of mixing of the resulting patterns by several mixing measures. More recently, network-based methods that construct graphs on trajectories of fluid particles have been developed to study coherent behavior in fluid flow. They use a method based on diffusion maps to extract organizing structures in open example systems directly from trajectories of fluid particles and extend this method to describe the mixing of two types of fluids.